无穷大是数学中描述变量或函数在某种变化过程中绝对值无限增大的概念，具有以下核心特征：

一、基本定义

变量特性

无穷大是一个变量，其绝对值可以超过任意给定的正数。例如，当 $x \to 0$ 时，函数 $f（x） = \frac{1}{x}$ 的绝对值趋近于无穷大，记作 $\lim_{x \to 0} \frac{1}{x} = \infty$。

符号表示

用符号 $\infty$ 表示无穷大，与负无穷大 $-\infty$ 一起构成完整表述。

二、分类与性质

正负无穷大

- 正无穷大：变量值无限增大，记作 $+ \infty$（如 $x \to +\infty$）。

- 负无穷大：变量值无限减小，记作 $-\infty$（如 $x \to -\infty$）。

非数值性

无穷大不是传统意义上的数，不能参与普通算术运算。例如，$\infty + 1 = \infty$，但 $\infty - 1$ 无意义。

与无穷小的关系

若 $f（x） \to \infty$（当 $x \to a$），则 $\frac{1}{f（x）} \to 0$（即 $\frac{1}{f（x）}$ 为无穷小）。

三、应用与意义

核心领域

无穷大在微积分、实分析、代数几何等数学分支中有重要应用，例如求极限、导数和积分。

扩展概念

在集合论中，无穷大被用来描述不同类型的无限集合（如可数无限与不可数无限）。

四、历史与哲学意义

无穷大概念的提出挑战了人类对数量极限的认知，早期数学家如牛顿和沃利斯便开始使用符号 $\infty$，而中国古代《墨经》中已有类似“无穷”的哲学思想。

总结：

无穷大是一种极限概念，通过符号 $\infty$ 表示变量或函数值的无限增长趋势，虽非具体数值，但为数学分析提供了重要工具。