根据最新官方信息，南阳有以下免费或优惠开放的景区及活动推荐：

一、全年免费开放景区

南阳汉画馆

南阳市级博物馆，展示汉画艺术，免费开放。

张衡博物馆

以东汉科学家张衡命名，免费向公众开放。

方城望花湖景区

4A级景区，包含生态农业体验区，全年免费。

方城大乘山景区

4A级景区，以道教文化为主题，免费开放。

淅川法海寺景区

历史悠久的佛教寺庙，免费向游客开放。

桐柏革命纪念馆

红色旅游景点，免费开放。

镇平国际玉城

国家级玉雕艺术园区，全年免费。

镇平中原荷花博览园

四季荷花景观区，免费开放。

镇平玉雕大师创意园

以玉雕文化为核心，免费参观。

唐河凤山地质公园

自然地质景观区，免费开放。

二、限时免费活动景区

中国旅游日（5月19日）

- 花洲书院：

对劳动模范、军人、残疾人等群体免票。

- 七十二潭景区：全国游客免票（需购10元保险）。

- 社旗山陕会馆：单票优惠至60元（原90元），含火神庙等景点。

三八国际妇女节（3月8日）

南召宝天曼洞、卧龙岗武侯祠等景区对全国女性游客免票。

春节促销活动

- 老界岭景区：

18岁以下青少年、南阳市教师免票。

- 丹江大观苑：属蛇游客或姓名带“she”的游客免票。

- 西峡恐龙遗迹园/龙潭沟：属蛇游客免票。

三、其他免费资源

南阳博物馆/科技馆：常规开放日免费，但需提前预约（科技馆每周一闭馆）。

南阳市汉画馆：同样位于张衡博物馆内，免费开放。

四、注意事项

1. 部分景区需提前预约，建议通过官方渠道（如南阳本地宝公众号）获取最新信息。

2. 优惠活动通常有时间限制，如5月19日、3月8日等，需关注官方通知。

3. 免费政策可能涉及特定人群（如老年人、学生、军人等），建议提前咨询景区确认。