高等数学中的“万能代换公式”主要指通过变量替换简化复杂问题的技巧，常见于积分、极限、微分方程等领域。以下是核心要点：

一、等价无穷小代换（核心技巧）

当变量趋近于0时，常用以下等价无穷小替换：

三角函数

$\sin x \sim x$，$\tan x \sim x$，$\arcsin x \sim x$，$\arctan x \sim x$

（适用于乘除运算）

指数与对数函数

$e^x - 1 \sim x$，$\ln（1+x） \sim x$，$a^x - 1 \sim x \ln a$

（适用于乘除运算）

幂函数与三角函数组合

$1 - \cos x \sim \frac{1}{2}x^2$，$\sqrt{1-x^2} \sim 1 - \frac{1}{2}x^2$

（常用于积分计算）

二、代换方法分类

三角代换

例如：$\tan\theta = \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$，用于简化根号下含二次项的积分

指数代换

令 $x = e^t$，将自然对数问题转化为代数问题

分式代换

通过变量替换简化复杂分式，如 $x \to \frac{1}{x}$ 处理分母含 $x^n$ 的积分

三、注意事项

适用范围：

等价无穷小仅能在乘除中替换，加减中需谨慎

代换原则：整体代换优先，避免部分代换导致错误

四、典型应用场景

积分计算：简化根号、分式等复杂表达式

极限求解：将复杂函数转化为已知极限形式

微分方程：通过变量代换降阶求解

掌握这些代换技巧可显著提高高等数学问题的解决效率，尤其适用于考试和科研中的复杂计算。