三角函数万能公式的推导主要基于半角公式和三角函数的基本关系，通过代数变换将正弦、余弦、正切等函数统一表示为半角的正切函数。以下是详细推导过程：

一、基础设定

设 $\tan\frac{\alpha}{2} = t$，利用三角函数的二倍角公式：

$$

\sin\alpha = 2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}

$$

$$

\cos\alpha = \cos^2\frac{\alpha}{2} - \sin^2\frac{\alpha}{2}

$$

通过 $\sin^2\frac{\alpha}{2} + \cos^2\frac{\alpha}{2} = 1$，将 $\sin\alpha$ 和 $\cos\alpha$ 表达为 $t$ 的函数：

$$

\sin\alpha = \frac{2t}{1+t^2}

$$

$$

\cos\alpha = \frac{1-t^2}{1+t^2}

$$

$$

\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{2t}{1-t^2}

$$

二、公式验证

平方关系验证

$$

\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = \left(\frac{2t}{1+t^2}\right)^2 + \left(\frac{1-t^2}{1+t^2}\right)^2 = \frac{4t^2 + (1-t^2)^2}{(1+t^2)^2} = 1

$$

正切平方关系验证

$$

1 + \tan^2\alpha = 1 + \left(\frac{2t}{1-t^2}\right)^2 = \frac{(1-t^2)^2 + 4t^2}{(1-t^2)^2} = \frac{1+2t^2+t^4}{(1-t^2)^2} = \frac{(1+t^2)^2}{(1-t^2)^2} = \sec^2\alpha

$$

余切平方关系验证

$$

1 + \cot^2\alpha = 1 + \left(\frac{1-t^2}{2t}\right)^2 = \frac{4t^2 + (1-t^2)^2}{4t^2} = \frac{1+2t^2+t^4}{4t^2} = \frac{(1+t^2)^2}{4t^2} = \csc^2\alpha

$$

三、应用场景

万能公式通过将三角函数统一为半角 $t$ 的表达式，简化了多角公式推导和函数最值问题。例如：

$$

\sin A \cdot \tan A \cdot \cos A = \frac{2t}{1+t^2} \cdot \frac{2t}{1-t^2} \cdot \frac{1-t^2}{1+t^2} = \frac{4t^2}{(1+t^2)^2}

$$

四、注意事项

公式推导中需注意定义域限制，例如 $\alpha \neq k\pi + \frac{\pi}{2}$（避免分母为零）。