艺术类培训机构的管理归属需根据培训内容性质和是否涉及义务教育阶段学生分类，具体如下：

主要监管部门

- 文化和旅游部门：

负责非义务教育阶段（如青少年、成人）的艺术类培训机构监管，包括审批、课程管理、质量监测等。 - 教育局：对涉及义务教育阶段学生（如中小学）的艺术类培训机构（如艺考培训）实施专项治理，依法取缔违规机构。

特殊政策调整

- 部分城市（如北京、上海）将艺体类培训机构纳入文旅局统一管理，涵盖审批、监管等职能。

其他相关部门

- 市场监督管理局：

负责查处培训机构违法违规经营、虚假宣传等问题。 - 教育部门：在涉及学科类艺术培训（如外语、体育等）时，可能承担部分监管职责。

总结：艺术类培训机构监管以文化和旅游部门为核心，义务教育阶段相关机构由教育局专项管理，其他部门根据职能协同监管。