根据搜索结果，与“竭尽所能”意思相近的四字成语主要有以下三个：

全力以赴

指将全部力量投入其中，不遗余力。例如：他为了比赛全力以赴，最终取得了优异成绩。

竭尽全力

强调用尽全部精力与能力，常用于描述为达成目标而付出最大努力。例如：团队成员竭尽全力完成项目任务。

尽心尽力

侧重用心和用力的结合，体现对事情的专注与投入。例如：她尽心尽力照顾生病的家人，令人感动。

说明：

以上成语均出自权威性较高的来源，且与“竭尽所能”在语义上高度契合，均强调“用尽全部力量或精力”。- 部分资料提到的“不遗余力”虽与“竭尽所能”同义，但未列入前三，可能因使用频率或语境差异。