根据搜索结果，方城县有以下免门票景区及相关活动信息：

一、常年免门票景区

七十二潭景区

- 四季皆美，以石川地貌和潭水景观著称，被誉为“中华第一石川”。 - 近期活动：

- 2025年3月8日-9日女神节期间全民免票（需10元保险）；

- 2023年春节期间曾面向全国游客免费开放（1月1日-2月6日，需购10元保险）。

大乘山景区

- 国家2A级景区，以原始森林和生态资源闻名，被称为“天然氧吧”和“中州明珠”。 - 历史活动：

2020年7月曾推出高考生免票活动（需高考准考证）。

望花湖风景区

- 国家2A级水利风景区，南阳北戴河般的美景，含生态旅游区、湿地公园等。 - 历史活动：

2021年秋季节约免票，2023年春节曾再次免费开放（需10元保险）。

二、特定活动免票景区

七十二潭景区

- 中国旅游日（5月19日）：

面向全国游客免票（需10元保险）；

- 5月20/21日：新婚夫妇持证免票（需10元保险）。

七峰山生态旅游区

- 暑期活动：

2020年7月曾推出转发免票和应届高考生免票活动（需高考准考证）。

三、其他说明

保险要求：部分免票活动需购买10元保险，用于意外保障；

咨询电话：七十二潭景区15237701007；

交通提示：部分景区位于县城北部或山区，建议提前规划路线。

以上信息综合了不同时期的政策及活动，建议出行前通过景区官网或电话确认最新开放情况。